Για το καραµελωµένο κρεµµύδι
Ζεσταίνουµε µια κατσαρόλα σε µέτρια προς δυνατή φωτιά. Προσθέτουµε το ελαιόλαδο και σοτάρουµε το κρεµµύδι, ανακατεύοντας συχνά. Αλατίζουµε και συνεχίζουµε να σοτάρουµε το κρεµµύδι µέχρι να πάρει έντονο χρώµα, και τότε προσθέτουµε τη ζάχαρη. Την αφήνουµε να καραµελώσει, σβήνουµε µε το ξίδι και χαµηλώνουµε τη φωτιά. Μαγειρεύουµε µέχρι να απορροφηθεί εντελώς το ξίδι και να µαλακώσει το κρεµµύδι. Αν χρειαστεί, προσθέτουµε λίγο νερό. Κρυώνουµε και διατηρούµε στο ψυγείο.
Για τη φάβα
Ζεσταίνουµε µια κατσαρόλα σε µέτρια φωτιά, προσθέτουµε 50 γρ. ελαιόλαδο και το κρεµµύδι, το καρότο, αλατίζουµε και ιδρώνουµε µέχρι να µαλακώσει καλά το κρεµµύδι. Προσθέτουµε τη φάβα, ζωµό κότας, αλατίζουµε, χαµηλώνουµε τη θερµοκρασία και σιγοµαγειρεύουµε ανακατεύοντας τακτικά. Αν δούµε πως η φάβα πριν µαγειρευτεί στεγνώνει και πήζει πολύ, αραιώνουµε µε νερό. Όταν η φάβα µαλακώσει, το αποτέλεσµα θα πρέπει να έχει τη µορφή πηχτού χυλού. Αποσύρουµε από τη φωτιά και την αφήνουµε να κρυώσει λίγο. Τοποθετούµε στον κάδο του µπλέντερ και αλέθουµε. Προσθέτουµε το υπόλοιπο ελαιόλαδο, καθώς αλέθουµε, και τέλος αλατίζουµε αν χρειαστεί.
Για το απάκι
Το τοθετούµε ένα τηγάνι στη φωτιά και όταν κάψει, προσθέτουµε το ελαιόλαδο, το σκόρδο και το σοτάρουµε ελαφριά. Προσθέτουµε το απάκι (εάν θέλουµε, µπορούµε να σβήσουµε µε λίγο κρασί λευκό). Μόλις πάρει λίγο και βγάλει τα αρώµατα του, το αφαιρούµε από τη φωτιά. Το προσθέτουµε στη φάβα µαζί µε το καραµελωµένο κρεµµύδι και τη ρίγανη.
